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メモです

『代数概論』自分用メモ

非数学科 2 年のみねるばです．最近ローペースで森田康夫著『代数概論』を読んでいます．これ↓

代数概論 (数学選書)

代数概論 (数学選書)

なかなか行間がエゲツなかったり証明まるごとすっ飛ばしてあったりしんどい本で，しんどかったな〜とか，用語が変とか，注釈が要りそうだなと感じたところをメモします．第 II 章と第 III 章について書いています．2021/3/1 現在，第 IV 章まで読みましたが，第 IV 章は行間がエグいどころじゃないのでとてもこういう形でのメモをまとめられそうにはないです．

I. 基礎概念

第 I 章は普通のことしか書いてないんでまあ平気だと思います．

II. 群

§2 正規部分群と準同型定理

2.3 \mathrm{Hom}(G, G') と完全列

p.41 の下の方，群の短完全列 1 \rightarrow G' \xrightarrow{i} G \xrightarrow{\pi} G'' \rightarrow 1 に対して，

  • ある \tilde{G}'' \le G が存在し， \tilde{G}'' \simeq G で，この同型を \pi が導く
  • ある群準同型 j: G'' \rightarrow G が存在して \pi \circ j = \mathrm{id}_{G''}
  • ある \tilde{G}'' \le G が存在し， \tilde{G}' := i(G') とおくと \tilde{G}' \cap \tilde{G}'' = \{ 1 \} かつ \tilde{G}' \cdot \tilde{G}'' = G

は同値であることが紹介されていますが，証明はありません．これには分裂補題という名前がついていて，証明はやればできた．この同値な条件が満たされる時，短完全列は分裂するといいます．特に 2 つめの条件を右分裂といいます．また，3 つめの条件が満たされるとき， G は G' の G'' による半直積である，とか言います．2 つめの条件について， G が Abel 群なら，

  • ある群準同型 j: G'' \rightarrow G が存在して \pi \circ j = \mathrm{id}_{G''}
  • ある群準同型 \rho: G \rightarrow G' が存在して \rho \circ i = \mathrm{id}_{G'}

が同値であることが言えます．この下の条件を左分裂と言います， G が Abel でなくても左分裂 \Rightarrow 右分裂は言えるけども，逆は Abel 性がないと言えません．左分裂と右分裂がどちらも言えるならば， \tilde{G}'' = \mathrm{Ker}(\rho) が示せるので， \tilde{G}'' も正規部分群ということになり， G は G' と G'' の直積に同型になります．短完全列のこのあたりの話は後で当たり前のように使われるのでこれくらいまとめておかないとついていけなくなる．

§3 群の作用と置換表現

3.2 共役類

p.44 の下の方， G を群， X をその冪集合， Y を部分群全体の集合としたときに，

  • G \times X \ni (g, S) \mapsto aSa^{-1} \in X
  • G \times Y \ni (g, S) \mapsto aSa^{-1} \in Y

は確かに G による X あるいは Y への群作用になるけども，これを内部自己同型とは呼ばんのでは？

3.3 対称群

定理 3.3 の証明が流石にハショりすぎ．自分は適当にググって出てきた この pdf を参考にした．巡回置換の逆元も巡回置換であること，巡回域の交わらない長さ 2 以上の巡回置換の積は巡回置換にはなり得ないこと，巡回域の交わらない巡回置換は可換であることを示して使うと良いと思う．

§4 Sylow の定理

この本には珍しくあんまり行間がない．龍孫江先生の動画が良いので合わせて見るとたのしい．


群論：シロー部分群は存在します！

§6 有限 Abel 群

最初の難関．定理 6.1, 有限 Abel 群の構造定理の証明が 1 ページ半にわたって書いてあるけど，行間だらけでつらい．

  • 4 行目． P と H は G の部分群となる．とあるけど，これは簡単だが確認すべき．
  • 16 行目．このような b は本当にあるのだろうか． b \in G - \langle a \rangle をとると， G は p- 群ゆえ b の位数は o(b) = p^m と書けるので，
\langle a \rangle \not\ni p^0 b, p^1 b, p^2 b, \dots, p^m b = 0 \in \langle a \rangle

となるからどこかで p^k b \notin \langle a \rangle, p^{k + 1} \in \langle a \rangle となる． p^k b を改めて b とおけばよい．

  • 21 行目． \langle a \rangle \cap \langle c \rangle = \{ 0 \} も確認しなきゃ．

他にもちょこちょこと行間がある．

§7 作用域をもつ群

加群の一般化である「作用域をもつ群」なる謎概念が登場し，次節はそのもとで展開される．Noether や Bourbaki がこの概念で議論したらしいが，この一般化で何が嬉しいのか全くわからない．見たところ「作用域をもつ群」について書いてある本は他にほとんどないけど，これには結構詳しく書いてある．

群論序説

群論序説

  • 作者:星 明考
  • 発売日: 2016/03/22
  • メディア: 単行本

§8 正規列

8.1 有限性条件

このあたりは行間がほとんどなくて読みやすい．Noether 性とか Artin 性とかふつう加群の文脈でやるっぽい話．

8.2 組成列

用語の使い方がちょっと変かもしれない．Wikipedia を見る感じ，群 G の部分群の列

G = G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_l = \{ 1 \}

について， G_{i - 1} \rhd G_i となるものを subnormal series, さらに G \rhd G_i となるものを normal series といい，真の細分をもたない subnormal series を composition series, 真の細分をもたない normal series を chief series と言うのが普通っぽい？この本の流儀だと \Lambda = \mathrm{Inn} (G) とすれば \Lambda- 部分群は正規部分群のことになるので \Lambda- 正規列は normal series のことになる．

Zassenhaus の補題ってモジュラー束の文脈でもやれるらしいと聞いて調べたんだけど，よくわかんなくて読むのやめちゃった．

8.3 可解群とべき零群

置換のところは例によってつらいので さっきの pdf を．中心列のところは命題 8.13 の拡張として G \rhd H \rhd N について

G \rhd N かつ H/N \subset Z(G/N) \Longleftrightarrow N \supset [G, H ]

を示して取り回すと可解列とほぼ同じ感じで事が進む．

III. 環

§2 素イデアルと極大イデアル

p.78 の一番下，この本では真イデアル \mathfrak{p} が素イデアルであることの定義は R / \mathfrak{p} が整域であることで，これが

ab \in \mathfrak{p} \Longrightarrow a \in \mathfrak{p} \, または \, b \in \mathfrak{p}

と同値であることが紹介されているけれど，普通は下のやつが定義な気がする．

§3 局所化と商体

冒頭部，乗法的閉集合の定義に 1 \in S と 0 \notin S が含まれているけど，ちょっと調べた感じ 0 \notin S は条件に入れないのが普通で， 1 \in S も入ってないケースが結構ある．かりに 0 \in S とすると，全ての R \times S の元が下の同値関係で同値になるから， S による局所化は零環になる．よって， 0 \notin S は局所化を零環にしないための制約である．次に， 1 \notin S としてみる．まず，このときは S は空集合になることが許されるが，そのときは R \times S も空集合になるので局所化は定義できない． S が空でないならば S による局所化が定義でき，適当な元 s \in S を使って 0 / s を零元， s / s を単位元とする環になる．これは S \cup \{ 1 \} による局所化と全く同じものになることがすぐにわかる．よって 1 \in S は S を空にしないための制約であることがわかった．

命題 3.1 により存在が保証される環 R_S を商環，分数環， S による局所化とか言う．この本では「商環」の語がメインに使われることになる．注意すべきなのは，この本では「剰余〇〇」と「商〇〇」は厳格に区別して使われていることで，部分対象（正規部分群，両側イデアル，部分加群，etc…）で割る系のやつが「剰余〇〇」で，乗法的閉集合で同値関係入れて割るタイプのやつが「商〇〇」である．

個人的には「分数環」という言い方が感じが出てて好きで，整域から作るアレもできれば分数体と呼びたい．でも「分数加群」って言い方はあまりないみたいなので悲しい……．あと，これをなぜ「局所化」と呼ぶのかわからなかったのだけど，青雪江 の 1.9 節に割といい感じのことが書いてあったのでオススメ．代数幾何おもしろそ〜

代数学2　環と体とガロア理論

代数学2　環と体とガロア理論

  • 作者:雪江　明彦
  • 発売日: 2010/12/07
  • メディア: 単行本（ソフトカバー）

§4 一意分解環

4.1 一意分解環

p.84，「逆に R の元 p の約数がこの様なものに限るとき， p は素元であるという．」とありますが，約数が単数 \varepsilon \in U(R) か単数 \varepsilon \in U(R) を用いて \varepsilon p の形に書けるものに限るという意味だと思います．ちなみにこの定義は普通の本では「既約元」という名前がついていて，普通の本での「素元」の定義は 0 でも単数でもない元 p \in R が

p | ab \Longrightarrow p | a \, または \, p | b

を満たすことであり，これは 0 でない p \in R の単項イデアル (p) が素イデアルであることと同値になる．なので，普通の本での定義を使うと，命題 4.1 は「 R が整域なら，素元は既約元」，命題 4.2 は「 R が一意分解環なら，既約元は素元」ということを言っている．

4.2 単項イデアル整域

定理 4.4 の証明について

  • p.87 の 4 行目， (a_0) \subsetneq (a_1) の等号が成立しないのは，もし (a_0) \supset (a_1) なら a_0 と a_1 が同伴になってしまうから
  • 7 行目， \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (a_n) は R のイデアルになるとあるが，これはイデアルの増加列が包含関係によりイデアルの全順序集合になるから，定理 2.2 で \mathfrak{l} にやったのと同じ議論ができるため

4.3 多項式環での既約性

整域 R 上の多項式の可約性と既約性が定義されていますが，これも普通のものと違うかもしれない．この本の定義だと， \mathrm{deg} \, f > 0 なる f \in R[X] が既約多項式であるとは，

f = gh \Longrightarrow \mathrm{deg} \, g = 0 \, または \, \mathrm{deg} \, h = 0

ということ．一方で Wikipedia の定義だと， f \in R[X] が既約多項式とは，整域 R[X] の既約元であること，すなわち， f \in R[X] が零多項式でも R の単数でもなく，

f = gh \Longrightarrow g \in U(R) \, または \, h \in U(R)

をみたすこと．上の定義を満たすのに下の定義を満たさないケースというのは， f の全ての係数がある単数でない R の元を約数にもつ場合に限るので，次ページに出てくる定義を用いれば

「 f が既約多項式かつ原始多項式」 \Longleftrightarrow「 \mathrm{deg} \, f > 0 で f が R[X] の既約元」

ということになります．ちなみに，なんか体論の用語で別の意味の「原始多項式」って概念あるみたいです．まだ体論やってないので知らんけど．

K が体ならば \mathrm{deg} \, f = 0 \Longleftrightarrow f \in U(K) なので， f が既約多項式であることと f が K[X] の既約元であることは一致します．さらに p.88 の一番下にあるように K[X] は一意分解環になるので，これは K[X] で素元であることとも一致します．本小節では K を R の分数体として， K[X] が一意分解環であることに訴える形で証明します．

補題 4.9 の証明の 5 行目． f_0 が原始多項式であることは， c_0', \dots, c_m' の最大公約数を d とすると，各 i について ad | bc_i となるから， d が単数でないなら a の最大性に反するということからわかる．続いて最後の部分， a'b \approx ab' で a と b， a' と b' が互いに素だから a \approx a' かつ b \approx b' となる，とありますが，これはあんまり明らかじゃないと思う．これは例えば，

いま R は一意分解環だから例 4.3 が使えて， a と b が互いに素なら a と b の最小公倍数は ab である．そこで s:= a'b とおくとある \varepsilon \in U(R) が存在して s = a'b = \varepsilon ab'. よって a | s かつ b | s だから ab | s であり， R は整域ゆえ a | a' がでる． ' をつけかえて同様にすれば a' | a もわかるので a \approx a' である． b \approx b' も同様である．

とかするとわかるけど，どうだろ．

この小節の主定理，定理 4.8 の証明 10 行目，「 R[X] の素元はこの 2 種類に限る．」ってところをちゃんと書く． f \in R[X] を素元とする． \mathrm{deg} \, f = 0 ならば f は R の素元であり， \mathrm{deg} \, f > 0 ならば f は R[X] の素元ゆえ既約元で，さらに既約多項式かつ原始多項式である． あれ？補題 4.9 使わなかったけど？

4.4 離散的付値環

この小節ようわからん．まず，乗法付値や付値環といった定義が登場します．実は付値環の定義は 2 種類あるっぽくて，整域 R が先にあって，その分数体 K の中で \forall a \in K - \{ 0 \} に対し a \in R または a^{-1} \in R を満たすものというやつと，体 K が先にあって，その部分環 R で \forall a \in K - \{ 0 \} に対し a \in R または a^{-1} \in R を満たすものというやつがあります．ちょっと考えればどちらも同じことであることがわかる．それで，付値環って定義を見ると付値に関係ないじゃん，って感じがします．じゃあなんで付値環って名前なの？って話になる．ところで，体 K と全順序 Abel 群 (G; +) があるとき，全射 \varphi: K \longrightarrow G \cup \{ \infty \} で

  • \varphi(a) = \infty \Longleftrightarrow a = 0_K
  • \varphi(ab) = \varphi(a) + \varphi(b)
  • \varphi(a + b) \ge \mathrm{min} (\varphi(a), \varphi(b))

を満たすものを K 上の加法付値といい， G をその値群といいます．ここで， \infty は G に付け加えた記号で， \infty との順序と演算は， \forall g \in G に対し g \le \infty， g \cdot \infty = \infty， \infty \cdot \infty = \infty となるように入れます．この加法付値って， G の積演算の記号を変えて，順序を反転させて，記号 \infty を 0 に変えれば非 Archimedes 付値と似てませんか？そうでもないですか．ともかく，加法付値については \mathfrak{o} := \{ a \in K | \varphi(a) \ge 0 \} とすれば付値環が定まるし，逆に付値環があれば \mathfrak{o} がそれになるような加法付値が構成できるということが下の動画で示されています．


環論：付値環と値群

本では付値環の定義のあと，「このとき， \mathfrak{o} は局所環で」とあるけど全く証明が書いてない．これは直接証明もできるけど，上の事実を使えば加法付値が構成でき，加法付値で命題 4.12 と全く同じことができることからもわかる．

付値環 R が離散的付値環であるとは，その値群が \mathbb{Z} と同型であるということである．命題 4.13 (1) の最初の部分は， \mathbb{Z} の生成元は 1 か -1 なので，それぞれに対応する \varphi(K^*) の元を \varphi(t), \varphi(t') とおくと，どちらかが 1 より小さいことが言えるから，それを改めて \varphi(t) とおけばよいということを言ってます． \forall b \in \mathfrak{p} に対して， b = 0 なら \varphi(b) \le \varphi(t) は明らか． b \ne 0 なら， \varphi(K^*) は \varphi(t) により生成されるので \varphi(b) = \varphi(t)^n と書ける．ここで \varphi(b) \lt 1 かつ \varphi(t) \lt 1 ゆえ n \in \mathbb{N} である．したがって \varphi(b) \le \varphi(t) . よって \forall b \in \mathfrak{p} に対して p.93 最初の同値関係が使えて \mathfrak{p} \subset (t) が言える．逆向きも明らかなので \mathfrak{p} = (t) である．(3) のステートメントは，「 \mathfrak{o} の任意のイデアルは〜」と書いてあるけど非自明なイデアルの間違いです．

§6 Noether 環におけるイデアル論

6.2 準素イデアル分解

既約イデアルという概念が登場します．素元と素イデアルについては

p \in R が素元 \Longleftrightarrow (p) \subset R が素イデアル

が成り立ちますが，

p \in R が既約元 \Longleftrightarrow (p) \subset R が既約イデアル

は一般には両向きともに言えないそうです．素イデアルは既約イデアルになることが示せるので， R が一意分解環なら， p が既約元 \Longrightarrow p が素元 \Longrightarrow (p) が素イデアル \Longrightarrow (p) が既約イデアル，となり右向きのみ言えます．

次に，イデアル商というものが出てきます．これが何なのか正直よくわかりませんが，定義よりすぐに

  • \mathfrak{a} \subset \mathfrak{a'} \Longrightarrow \mathfrak{a} : \mathfrak{b} \subset \mathfrak{a'} : \mathfrak{b}
  • \mathfrak{b} \subset \mathfrak{b'} \Longrightarrow \mathfrak{a} : \mathfrak{b} \supset \mathfrak{a} : \mathfrak{b'}
  • \mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Longrightarrow \mathfrak{a} : \mathfrak{b} = R
  • \mathfrak{a} : (\mathfrak{b} + \mathfrak{c}) = (\mathfrak{a} : \mathfrak{b}) \cap (\mathfrak{a} : \mathfrak{c})
  • (\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}) : \mathfrak{c} = (\mathfrak{a} : \mathfrak{c}) \cap (\mathfrak{b} : \mathfrak{c})

あたりの関係がわかります．こういうのがこの小節の以降の部分で無言で使われまくっていく．

Noether 環について，補題 6.6 より任意のイデアルは既約イデアル分解をもち，命題 6.5 よりそれは準素イデアル分解です．これをいつでも「むだのない」準素イデアル分解にできるなら，補題 6.7 の (2) の条件は準素イデアル分解の仕方によらないので，定理 6.4 の意味で一意的であることがわかります．ここで，「むだのない」に本書の定義を用いるならば，準素イデアル分解 \mathfrak{a} = \mathfrak{q}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{q}_n に対し， \mathfrak{q}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{q}_{i - 1} \cap \mathfrak{q}_{i + 1} \cap \cdots \cap \mathfrak{q}_n \subset \mathfrak{q}_i となってしまうような \mathfrak{q}_i を省いていけば，「むだのない」準素イデアル分解にできます．一方，文献によっては「むだのない」の条件に「 \sqrt{\mathfrak{q}_i} が相異なること」を含める場合があるようです．ところが \sqrt{\mathfrak{q}_i} = \sqrt{\mathfrak{q}_j} ならば \mathfrak{q}_i \cap \mathfrak{q}_j も準素イデアルで \sqrt{\mathfrak{q}_i \cap \mathfrak{q}_j} = \sqrt{\mathfrak{q}_i} = \sqrt{\mathfrak{q}_j} となるので，根基の等しい準素イデアルを交叉でまとめれば，準素イデアル分解は常にこの意味でも「むだのない」ようにできます．

6.3 Dedekind 環

この小節は本当にひどくて，事実が羅列してあるだけでほとんど証明がありません．この小節について行間を全部書いてると，それだけで記事になっちゃいそうなのでやめておきます．とりあえず龍孫江先生の Dedekind 環シリーズを載せておきます．これでだいたい感じがつかめる．この小節については，気が向いたら独立して記事にしたいと思います．


（特別編）環論：一意分解整域とｐ進付値


（特別編）環論：UFDとDVRの交叉


（特別編）環論：付値環の整閉性


（特別編）環論：整閉性と離散付値環の特徴づけ


（特別編）環論：デデキント整域と素イデアル分解